Hallo und willkommen im Forum.
Hast du den Postausgangsserver deinem Konto richtig zugeordnet?
Dein Konto rechts anklicken, Eigenschaften, im rechten Fenster ganz unten was steht da unter Postausgangsserver?
Wenn du wieder links in der Kontenanzeige ganz unten nach Postausgangsserver scrollst dieses markierst, siehst du rechts in dem Fenster die Postausgangsservernamen, wähle den richtigen an und gehe auf "Bearbeiten".
Hast du bei "Benutzername und Passwort verwenden" einen Haken?.
Darunter hast du "Nie" aktiviert?
Welchen Virenscanner/Firewall hast du und scannen die dein TB-Profil ab?
Du hast dich schon mal mit der Dokumentation hier im Forum unter Konten einrichten vorab informiert?
> Kann es auch am Server liegen?
Aber selbstverständlich.
Mit 0,1% Wahrscheinlichkeit 
Aber das kannst du dafür mit 100%iger Sicherheit mit telnet selbst überprüfen. => Dokumentation
Der kleine Rest liegt aber in unrichtiger Konfiguration des TB begründet.
Deine Fehlermeldung sagt mir, dass du den Server erreichst -> also kein Problem mit "Firewall" usw. vorliegt.
Du schreibst, das du "bestimmte Mails wegschicken kannst" Über das gleiche Konto oder über ein anderes? Überprüfe noch einmal, ob die in den Konteneinstellungen eingetragene (Absender-)Mailadresse wirklich zu diesem Konto gehört. Wenn es immer noch nicht funktioniert, dann lösche noch einmal die Absenderadresse und in den smtp-Einstellungen das Benutzerkonto. Und gebe alles noch einmal händisch ein. Mitunter sind da kaum erkennbare Leerzeichen drin. Dann solltest du (auch wenn ich es in deinem Fall für unwahrscheinlich halte) den "Firewall" und den Virenscanner deaktivieren. Also jede mögliche Störquelle beseitigen.
MfG Peter
