Hallo bibi123 und willkommen im Thunderbird-Forum,
ich habe den restlichen Thread nicht gelesen, aber ich glaube, was Du brauchst, ist ein IMAP-Konto. Lies dazu Wann IMAP statt POP nutzen.
Mit POP wird das, was Du vorhast (so wie ich Dich verstehe), nicht gehen. Daher musst Du auf beiden Rechnern, ein IMAP-Konto anlegen. TB fungiert dann quasi nur noch als Fernbedienung des Servers. D.h. letztlich, dass Du auf beiden Rechnern immer den gleichen Datenstand hast.
Gruß
slengfe
PS: Was ist FB?