Schon vorher wusste ich keinen (plausiblen) Weg, wieso Mails erst auf dem Smartphone auftauchen sollten, nachdem auf dem PC der Thunderbird beendet wurde.
Vor allem nachdem es nach einigen Nachfragen so schien, als würde es eben / auch solche Mails betreffen, welche auf dem PC (TB) bereits abgerufen wurden und nicht nur neue Mails, die nach Beenden des TB auf dem PC noch nicht am PC gesehen wurden und somit auch nicht vom Server gelöscht wurden.
Wenn (inzwischen) auf dem Smartphone auch dann keine Mails mehr ankommen, nachdem auf dem PC der TB beendet wurde, ist es sehr wahrscheinlich, dass die Konfiguration des Mailclients auf dem Smartphone nicht korrekt ist, welche App dort nun auch immer werkelt.
Dazwischen funkende AV ist eine gute Idee, sowas gibt's ja längst auch für Smartphones.
Sehr ungewöhnlicher Fall so oder so, irgendwas ist da vermutlich recht "speziell" konfiguriert worden.