Ich habe das Problem gelöst! So wie ich in meinem letzten Posting schon vermutet habe, lag es daran, dass es mehrere Ordner für die gesendeten Emails gab. Seitdem ich alles auf 1 Ordner reduziert habe, zickt TB nicht mehr herum.
So einfach war die Aktion aber gar nicht. Ich habe serverseitig unnötige Ordner gelöscht bzw. deaktiviert und selbst das hat erst mal nicht ausgereicht. TB hat eine Weile gebraucht, um zu begreifen, dass die Ordner nicht mehr da sind. Irgendwann hat TB sich dann gefangen und nun läuft es!
Danke für Eure Tips, die mich auf die richtige Fährte gebracht haben!