Heureka!!
Es geht wieder! Auf beiden Rechnern (Win Live & Outlook).
In Outlook habe ich Exchange Active Sync eingestellt und als Server eas.outlook.com. Aber vor allem: Ich habe das Zwei-Schritt-Verifizierungsverfahren abgeschaltet. Einige Stunden später waren dann die Mails wieder da (abgesehen vom versehentlich gelöschten Mailfile).
Hypothese: Hatte mich wohl mehrfach falsch angemeldet (über mein eigenes Passwort und nicht über das von MS generierte).
Um das nächste Mal ganz sicher zu gehen, werde ich aber den Hinweis berücksichtigen und mein Hotmail-Konto stilllegen.