Das ist mir jetzt echt ein bisschen peinlich.
Thunderbird verwendet standardmäßig den Pfad:
C:\Users\%username%\AppData\Roaming\Thunderbird\Profiles
Da ich ein paar Schreibvorgänge auf meiner SSD einsparen wollte, hatte ich auf meinem alten Rechner aber ein anderes Verzeichnis auf einer klassischen Festplatte benutzt. Daran habe ich mich allerdings beim Umziehen auf den neuen Rechner nicht erinnert und deshalb das veraltete Verzeichnis verwendet.
Zumal ich ohnehin die klassische Festplatte in den neuen Rechner umgebaut habe, habe ich jetzt einfach das Profil mit dem richtigen Ordner neu erstellt und schon funktioniert alles wieder. (Dieser Ordner enthält übrigens dann auch wieder die Datei pkcs11.txt )
Kaum macht man es richtig, schon klappt es.
Vielen Dank trotzdem an alle, die meine Frage gelesen und sich den Kopf zerbrochen haben was es sein könnte. Ich hoffe, meine Antwort hilft irgendwem weiter.